ABC300F 解法 部分問題として，\(M=1\) のときを考える． \(s\)のうち，丁度\(k\)個の x を o に変えた後の 最大の o の長さを求める． 補助的な配列 \(a\)を用意する． 大体は，\(s\) の x の部分を \(0\) にして，o の部分を長さとする． ただし，0 が並ぶ…

ABC332C 解法 シミュレーションというか，貪欲法． 気を付けることは， 無地のシャツを買う必要はないので，足りないときは印刷されてる方だけ買う． 洗濯したら枚数を回復するので，今持っているシャツの枚数をそれぞれ記録しておく． 最後に，印刷したシャ…

ABC332D 解法 行と列の個数が\(5\)以下と少ないので全探索できる． 入れ替え全体は\(\,(5!)^{2}\,\)通り． 置換を与えたとき，互換の積で表したときの最小の個数は， 置換の転倒数と一致． これは愚直に実装でも，置換のサイズの2乗オーダーで求まる． Segtr…

ABC332E 解法 分散 \(V\) の最小化． \(V = \frac{\sum_{i \in D} (x_{i} - \overline{x})^{2} }{D}\) を最小化する．\(\overline{x}\) は，振り分け方と無関係な定数． よって， \(\,(x_{i}-\overline{x})^{2}\,\)の最小化をすれば十分． \(D,N\)が小さいの…

ABC320E 解法 シュミレーション． 時刻毎のイベントを priority queue に入れておく． 食べるイベントと，人が復帰するイベントに分ける． 注意 人が復帰するのと，食べるイベントが同時刻の場合， 人が復帰するのを先に行うので，priority queue の順序に注…

ABC327E 解法 レーティングの計算式を見ると，\(k\)を固定したときに 第一項の分母と第二項は定数． よって，第一項の分子だけ最大化すればよい． この DP は容易． 注意 普通にDPを実装すると，-inf * \(0.9^{t}\) の形を計算することになる． これだと，\(…

ABC329E 解法 操作を逆に行う． 文字列\(S\)からスタートして，\(S\)を ##...# にする． # はワイルドカードだと思ってよい． つまり，何が入っていいても良い文字と考える． \(S\)において，文字列 \(T\) を連続部分列として含むかどうかを判定して， 含む…

ABC323E 解法 問題文がおかしい？ 誤解していたが，テストケースを見て読み取れた． 正しくは，\(X+0.5\)秒の時点で曲0が流れている確率． 時刻 \(y \in [0,X]\) において，\(y\) に曲が開始される確率を求めておけば十分． これは dp で求まる． 計算量は，…

ABC331E 解法0: Priority queue とソートを用いて，調べる候補を減らす． \(a\)と\(b\)を降順ソートしておけば，基本的には \(a\)と\(b\)の先頭から選んでいけばよい． 今調べている\(a\)と\(b\)のインデックスの組を \(\,(i,j)\,\) とおくと， 次に調べるべ…

ABC330E 解法 vector \(a\) に対して，\(mex(a)\) の求め方を考える． \(N := \vert a \vert\)とおく． まず， \(0 \leq mex(a) \leq N\) であることに注意する． \(a\)の元のうち，\(N\)以上の物は無視して良いことになる． \(mex(a)\)を答えるためには， \…

ABC328E 解法 BitDP による全探索． \(N = 8, M = \frac{N(N-1)}{2}\) の最大ケースで 辺の選び方は\({}_{M}C_{N-1} \leq \frac{25^7}{7!} = 1,211,015\)通り であるから間に合う． 辺の取り方を \(s \in 2^{M}\) から選べばよい． 別のbitDPとして，頂点の…

アルゴリズムと数学061 - Stone Game 2 解法 勝敗を逆算していく． 手番を持っているほうが勝ちか負けかを考える． 今の局面が勝ちか負けかを決めるとき， 遷移先に負けの局面が存在するならば，今の局面は勝ち． 遷移先が全て勝ちの局面ならば，今の局面は…

アルゴリズムと数学079 - ModSum 解法 上界を見積もる． 各\(i \in [1,N]\)に対して， \(i\)で割ったあまりは \(i-1\)以下． よって，答えは \(\sum_{i \in [1,N]} (i-1)\) 以下． 実際に，これを実現する例が存在する． 1-indexed で \(p_{i} = i+1\) とお…

アルゴリズムと数学089 - Log Inequality 2 解法 式を同値変形すると， \(a < c^{b}\). 桁あふれに注意して冪を計算する． \(a\)より大きいかだけが問題になるので， \(a\)の最大値よりも大きい値は区別する必要がないので， 気持ちとしては \(\infty\) の様…

アルゴリズムと数学094 - Maximal Value 解法 \(a_{i}\)の和の最大を求める． まず，各\(i \in N\) に対して \(a_{i}\) の最大を見積もる． \(b_{i} \geq max(a_{i}, a_{i+1}) \geq a_{i}\) かつ \(b_{i-1} \geq max(a_{i-1}, a_{i}) \geq a_{i}\) であるか…

アルゴリズムと数学057 - Domino Tiling 解法: 行列冪乗 これも遷移が線形になるので，行列冪で解ける． 状態を \(2^{K}\) で持っておき， 次数\(2^{K}\)の行列を考える． まず\(N\)が小さい場合で考えてみる． DP による全探索をすると， 左から \(i\) 列目…

アルゴリズムと数学056 - Recurrence Formula 2 解法: 行列冪乗 遷移が線形なので，行列冪により \(O(M^{3} log N)\) で求まる． ここで，\(M\)が行列の次数，\(N\) は行列冪の指数． 遷移が \[ \begin{pmatrix} a_{n} & a_{n+1} & a_{n+2} \end{pmatrix} = …

アルゴリズムと数学062 - Teleporter 解法0: 周期性を用いる \(i \rightarrow a[i]\) と遷移を繰り返すと，あるところでサイクルに入る． \(i_{0}\)からスタートするとして， \[ i_{0} \rightarrow \cdots a \rightarrow b \rightarrow \cdots \rightarrow c…

ABC324D 解法 \(N \leq 13\) より，\(N\)桁の平方数は \(10^{6.5}\) 以下なので，全探索できる． \(0\)の桁の扱いに注意． 一番上の桁に\(0\)を追加してもよいという設定． あるソートで一致することは， 各桁の\(0\)から\(9\)の個数が全て一致することと同…

ABC142F 解法 Sub 0: 有向グラフにおける，サイクルを求める． Sub 1: 有向グラフにおける，最短サイクルを求める． Sub 0: サイクルを検出するだけなら，DFS, BFS で可能． Sub 1: 最短のサイクルを求めたいので，BFS を行う． 計算量的には，始点 \(i \in …

ABC165F 解法 Sub: LIS(line 型) Main: LIS(Tree 型) Line 型の LIS が解けていれば，それを tree 型にするのは容易． DP 配列を DFS で使い和ます． 注意は，遷移から戻るときに DP 配列を元に戻すこと． 使っている記号，マクロ等 "https://ecsmtlir.haten…

ABC170F 解法 いくつか解法があるが， ダイクストラで解く． コストが \(\frac{1}{k}\) として， 向きを変えたときまたはゴールしたときに，小数点以下の切り上げをする． 少数だと扱いにくいので，コストを \(1\) にして，\(k\) の倍数に切り上げる． 使っ…

ABC173F 解法 \(0\)-indexed, 半開区間で考える． 森の誘導部分グラフは森になる． よって， グラフ \(G\) が森のとき， (\(G\)の connected component の個数) = \(|V(G)| - |E(G)|\) となる． 頂点集合が区間 \([l,r)\) となる \(G\) の誘導部分グラフの …

ABC184F 解法 半分全列挙． \(a\) を半分に分けて，それぞれの和を集めておき， その vector を \(v_{0}, v_{1}\) とする． \(x \in v_{0}\) を全探索して， \(y \in v_{1}\) を，\(x + y \leq t\) となるもののうち 最大となる様にとる． これは，前処理で …

ABC192F 簡単な問題から考える． 取り方 \(s \in 2^{N}\) を固定 \(t := sum(s)\) とおく． \(s\) に対する答えは， \(x-t \equiv 0 \ mod \ |s|\) のとき \(\frac{x-t}{|s|}\) となる． それ以外のときは不可能． 取った個数 \(k \in [1,N]\) を固定 これも…

ABC306F \(\def\cnt #1{\lvert {#1} \rvert}\) 解法 \(A,B\) を集合，\(A \cap B = \emptyset\) とする． 集合 \(C\) に対して，\(x\) 以下の元全体を \(C^{\leq x}\) とおく． \begin{align} f_{A,B} &= \sum_{x \in A} \cnt{A \cup B}^{\leq x} \\ &= \sum…

ABC276F 部分問題 \(a\) を size \(N\) の vector， \(i \in N\) とする． \(a_{[0,i)}\) において， \(a_{i}\) 未満の個数と \(a_{i}\) 以上の和が分かれば十分． これらは segtree で実装可能． 使っている記号，マクロ等 "https://ecsmtlir.hatenablog.co…

ABC275F 解法 \(a_{i}\) を残すとき 0, 消すとき 1 として，01 列を考える． 1 が連続している区間の個数を最小化する問題となる． 区間を数える代わりに，[01] の並びを数えると考えるとよい． [11], [00], [10] は数えないとする． つまり，01 列において …

ABC309F 解法 平面走査． 2次元 segtree は，1次元を 2方向にとる． まず回転が 6通りあるが，これは直方体のどの面を一番下にするかが 6通りあって， それらに 1対1 対応する． つまり，回転するということは，自由に辺の長さを並び変えることに対応する． …

ABC271F 解法 半分全列挙． 最短ルートで移動したとき，右上から左下の対角線 \(l\) を一度だけ通る． \(l\) で正方形を 2分割して，それぞれで計算した結果をつなげる． 左上から \(l\) への移動方法は，雑に見積もって \(2^{n}\)通り． 点 \(\,(x,y\,)\) …